A lo largo de nuestra vida escolar nos han presentado a las matemáticas solamente como una herramienta para estudiar o resolver problemas de otras áreas; por lo que muestran a la matemática como la servidumbre de la ciencia. Un gran ejemplo de esto son los números.

Los números son una invención humana que surge por nuestra necesidad de representar o asociar cuestiones de la realidad. Actualmente, en el día a día, estamos sumergidos en una sociedad dependiente de los números: con los naturales contamos, con los positivos y negativos formamos una economía, con los racionales establecemos proporcionalidad entre cantidades y con los irracionales encontramos relaciones geométricas y tasas de crecimiento presentes en la naturaleza. Por todo este gran aprovechamiento que le damos a los números, no se suele observarlos como un objeto de estudio por sí solo. Sin embargo, yo te explicaré en simples palabras todo lo básico que debes saber sobre los números y las operaciones fundamentales como futuro físico en proceso.

¿Qué son los números reales?

El conjunto de números reales, antes que nada, es un conjunto de números que posee dos operaciones que cumplen con ciertas reglas. Las operaciones por efectuar son la suma y la multiplicación. A las reglas o principios esenciales que estas deben seguir, se les conoce como axiomas y, por lo general, se distinguen con nombres raros que, con el tiempo, uno se acostumbra a oír en videos de Julioprofe y a emplear en conversaciones dentro del salón de clases.

Axiomas de la suma

Los axiomas de la suma son cuatro. Para expresarlos, tomamos al número 0 y escogemos cualesquiera tres números del conjunto que nombraremos a, b y c:

• Axioma de asociatividad: «Suma por parejas». a + (b + c) = (a + b) + c
• Axioma de conmutatividad: «Empieza a sumar por donde quieras». a + b = b + a
• Axioma del neutro aditivo: «El 0 no aporta nada a una suma». a + 0 = 0 + a = a
• Axioma del inverso aditivo: «Todo número positivo tiene un gemelo malvado negativo y que sumados resultan 0. Además, entendemos la resta como la suma de un número negativo». a + (-a) = (-a) + a = 0

Axiomas de la multiplicación

Los axiomas de la multiplicación son cinco. Para expresarlos, tomamos a los números 0, 1 y de nuevo escogemos cualesquiera tres números del conjunto que nombraremos a, b y c:

• Axioma de asociatividad: «Multiplica por parejas». a(bc) = (ab)c
• Axioma de conmutatividad: «Empieza a multiplicar por donde quieras». ab = ba
• Axioma del neutro aditivo: «El 1 no aporta nada a una multiplicación». a1 = 1a = a
• Axioma del inverso aditivo: «Todo número diferente de 0 tiene una media naranja que lo complementa y que multiplicados resultan en la unidad (1). Además, entendemos la división como la multiplicación por el recíproco de un número». a(1/a) = (1/a)a= 1
• Axioma de distributividad: «Factorización al derecho y al revés». a(b + c) = ab + ac

Además de estas propiedades, el conjunto por sí solo cumple también los axiomas de orden.

Axiomas de orden

Los axiomas de orden son tres. Para expresarlos, una vez más escogeremos cualesquiera tres números del conjunto que nombraremos a, b y c:

• Axioma de tricotomía: «Un número es igual, mayor o menor que otro, pero no los tres al mismo tiempo». a = b, a > b, a < b
• Axioma de monotonía de la suma: «Si sumas algún número de ambos lados del signo, la relación de orden se conserva». a > b, entonces a + c > b + c
• Axioma de monotonía de la multiplicación: «Si multiplicas algún número positivo de ambos lados del signo, la relación de orden se conserva». Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

Finalmente, existe una última propiedad del conjunto de los números reales que lo hace único y esa es cumplir con el llamado axioma del supremo.

Axioma del supremo

• · Este axioma requiere una mejor comprensión de la teoría de conjuntos y en algún momento escribiré sobre eso. Por el momento sólo puedo decir que por este axioma y por los axiomas de orden se nos suele enseñar los números reales ubicándolos en una línea recta uniforme, es decir, sin huecos. La recta real.

A partir de tooooda esta larga lista de axiomas surgen los teoremas elementales que popularmente conocemos como leyes; tales como las famosas leyes de los signos o leyes de los exponentes, que de leyes no tienen nada. Se puede probar que el producto de dos números negativos resulta en uno positivo, no es que sea un hecho divino incuestionable de las matemáticas, sino que se trata de una deducción lógica cuando se utilizan estos axiomas para descubrir la naturaleza propia de los números.

Los números reales son un ejemplo de algo que se llama campo ordenado o cuerpo ordenado y a su vez, un campo es un ejemplo de estructura algebráica. Esto lo menciono para los curiosos que quieran investigar más sobre esos conceptos. Mi intención en esta ocasión es darles al menos un primer vistazo a la base de las matemáticas.

Uno podría preguntarse por qué darle tantas vueltas al concepto de número si ya sabemos cómo ocuparlos. Pues resulta importante conocer bien sus propiedades, ya que son la base de la aritmética, del álgebra, del cálculo, del análisis matemático, del álgebra lineal y de la teoría de números. Lo cierto es que hoy en día tenemos una ciencia y una tecnología tan desarrolladas gracias a la labor de diversos matemáticos que no dejaron lugar a vaguedades dentro de las definiciones y las normas en las que se fundamenta nuestro conocimiento científico. De aquí la importancia de razonar y conocer bien el porqué de cada operación que hacemos.